基于分段擬合的機(jī)床大尺寸工作臺(tái)熱誤差補(bǔ)償模型

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0  前言

在影響零件加工精度的因素中，機(jī)床熱誤差是影響加工精度的主要原因之一，在精密機(jī)床加工中由于熱因素造成的加工誤差可以占到60% ～70%。為降低或消除機(jī)床熱誤差對(duì)加工精度的影響，科研人員進(jìn)行了大量廣泛深入的研究，目前主要有兩種減小熱誤差的途徑：硬件消除法和軟件補(bǔ)償法。硬件消除法主要是通過(guò)熱結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)、預(yù)拉伸和采用低熱膨脹系數(shù)的材料來(lái)實(shí)現(xiàn)，硬件消除法缺點(diǎn)是成本較高。軟件補(bǔ)償法是通過(guò)建立能夠反映機(jī)床溫度與熱誤差關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，在補(bǔ)償時(shí)用模型產(chǎn)生的預(yù)測(cè)值來(lái)抵消機(jī)床因溫度變化產(chǎn)生的誤差，以此達(dá)到消除熱誤差的目的。軟件補(bǔ)償法的優(yōu)點(diǎn)是，實(shí)現(xiàn)成本較低且無(wú)須對(duì)現(xiàn)有機(jī)床進(jìn)行大的改造，應(yīng)用簡(jiǎn)便易于推廣。軟件補(bǔ)償法的關(guān)鍵是建立能夠準(zhǔn)確反映機(jī)床溫度與誤差之間的數(shù)學(xué)模型，這也是目前熱誤差補(bǔ)償研究工作的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。補(bǔ)償模型分為離線(xiàn)靜態(tài)模型和在線(xiàn)動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)模型，常見(jiàn)靜態(tài)補(bǔ)償模型如：多元統(tǒng)計(jì)回歸、最小二乘支持向量機(jī)、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。如果機(jī)床使用環(huán)境和建模環(huán)境相近，靜態(tài)熱誤差模型能夠取得較好的預(yù)測(cè)效果，但是當(dāng)機(jī)床使用環(huán)境和建模環(huán)境相差比較大或環(huán)境溫度和工況變化比較大時(shí)，模型預(yù)測(cè)精度會(huì)嚴(yán)重受到影響。為了提高熱誤差補(bǔ)償模型的精度和適應(yīng)能力，研究者提出了實(shí)時(shí)在線(xiàn)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償模型，在線(xiàn)模型能夠根據(jù)加工狀況、環(huán)境溫度等的變化實(shí)時(shí)調(diào)整模型參數(shù)，使模型能跟蹤機(jī)床熱誤差的變化，所以在線(xiàn)動(dòng)態(tài)模型具有更高的預(yù)測(cè)精度和適應(yīng)能力。

以上建模方法為熱誤差補(bǔ)償提供了有力工具，且在試驗(yàn)中取得了良好效果。機(jī)床部件受熱不僅會(huì)產(chǎn)生熱膨脹伸長(zhǎng)，還會(huì)產(chǎn)生彎曲變形。如絲杠螺母在傳動(dòng)過(guò)程中由于摩擦作用產(chǎn)生熱，文獻(xiàn)分析了絲杠熱彈性效應(yīng)導(dǎo)致對(duì)工作臺(tái)縱向定位精度的影響。文獻(xiàn)提出一種幾何誤差和熱誤差建模方法，對(duì)熱誤差分離后，建立了不同位置不同溫度下的熱誤差補(bǔ)償模型，提高了工作臺(tái)定位精度。實(shí)際工作中絲杠螺母摩擦熱一部分傳入絲杠，還有一部分傳入工作臺(tái)，傳入工作臺(tái)的這部分熱，分布不均勻?qū)?huì)導(dǎo)致工作臺(tái)熱變形。現(xiàn)有文獻(xiàn)在熱誤差建模時(shí)對(duì)工作臺(tái)熱變形考慮較少，本文在三坐標(biāo)銑床上通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)絲杠螺母?jìng)魅牍ぷ髋_(tái)的熱導(dǎo)致工作臺(tái)兩側(cè)產(chǎn)生翹曲，為了對(duì)工作臺(tái)熱變形造成的熱誤差進(jìn)行補(bǔ)償，先建立工作臺(tái)不同位置熱誤差模型，再對(duì)工作臺(tái)各點(diǎn)模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行分段擬合，實(shí)現(xiàn)對(duì)工作臺(tái)任意位置的熱誤差預(yù)測(cè)。為了增加模型的預(yù)測(cè)精度和適應(yīng)能力，通過(guò)聚類(lèi)分析和逐步回歸尋找最佳測(cè)溫點(diǎn)，采用粒子群優(yōu)化實(shí)時(shí)辨識(shí)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)，提高了模型魯棒性和預(yù)測(cè)精度。

1  溫度測(cè)點(diǎn)的選取及建模方法

在選取溫度測(cè)點(diǎn)時(shí)認(rèn)為不同位置溫度點(diǎn)只要溫度變化規(guī)律相似，對(duì)熱誤差模型的作用就相似，在建模時(shí)可以從相似的測(cè)點(diǎn)中選取一個(gè)作為代表變量，機(jī)床熱誤差模型可以用幾個(gè)關(guān)鍵的溫度點(diǎn)來(lái)表征。基于上述假設(shè)，可以在機(jī)床上布置大量傳感器，然后根據(jù)每點(diǎn)的溫度變化規(guī)律進(jìn)行分類(lèi)，再?gòu)拿總€(gè)分類(lèi)中選取一個(gè)溫度變量進(jìn)行熱誤差建模。這樣就減小了溫度測(cè)點(diǎn)選取的盲目性，且能利用較少的溫度變量建立熱誤差模型。本研究先用聚類(lèi)分析方法對(duì)溫度變量進(jìn)行分類(lèi)，再利用逐步回歸選取與熱誤差變化最相關(guān)的溫度測(cè)點(diǎn)，然后根據(jù)選取的測(cè)點(diǎn)作為輸入變量，建立差分熱誤差模型。

1.1  溫度測(cè)點(diǎn)的選取方法

(1)聚類(lèi)分析方法。聚類(lèi)分析是一種分類(lèi)方法，它能將一批樣品或變量，按照它們?cè)谀撤N評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)上的相似程度或遠(yuǎn)近進(jìn)行分類(lèi)，目的是使同類(lèi)內(nèi)對(duì)象的同質(zhì)性最大和類(lèi)與類(lèi)之間的對(duì)象差異性最大。為了對(duì)樣品(變量)進(jìn)行分類(lèi)，一般采用兩種方法：①相似系數(shù)法，性質(zhì)越相似或越接近的它們相似系數(shù)為1，彼此無(wú)關(guān)的相似系數(shù)接近0，相似的樣品(變量)歸為一類(lèi)；② 距離法，把樣品看做空間中的一個(gè)點(diǎn)，然后定義距離，距離近的點(diǎn)歸為一類(lèi)。常用的分類(lèi)方法有5種：即最短距離法、最長(zhǎng)距離法、類(lèi)平均法、重心法、離差平方和法。

這5種聚類(lèi)法的計(jì)算步驟一樣，不同的是距離的定義方法，當(dāng)采用歐氏距離時(shí)5種方法有統(tǒng)一的遞推公式中，

Dkr表示類(lèi)Gk與類(lèi)Gr之間的距離，
Gr是Gq和Gp合并后形成的新類(lèi)。
αp，αq， β， γ對(duì)不同方法有不同的取值，具體取值參見(jiàn)文獻(xiàn)。采用系統(tǒng)聚類(lèi)法進(jìn)行分類(lèi)的流程如圖1所示。

(2)逐步回歸原理。逐步回歸原理是在建立因變量和自變量回歸模型時(shí)，自變量逐次引入，每引入一個(gè)自變量，對(duì)進(jìn)入的變量進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)，當(dāng)原引入的變量由于后面變量的進(jìn)入而變得不再顯著時(shí)，就將其剔除。引入或剔除一個(gè)變量稱(chēng)為逐步回歸的一步，每步都要進(jìn)行F 檢驗(yàn)，以確保新引入變量前，回歸方程中只包含顯著地變量。這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直到既無(wú)新的變量進(jìn)入回歸方程也無(wú)變量可剔除，計(jì)算停止得到逐步回歸下的最優(yōu)方程。

1.2  建模原理

(1)差分方程模型。差分方程輸出值不僅與當(dāng)前的輸入值有關(guān)還和歷史輸入有關(guān)，而熱誤差的變化也與歷史熱輸入大小有關(guān)，因此采用差分結(jié)構(gòu)描述熱膨脹更符合其物理意義。差分方程建模屬于動(dòng)態(tài)建模，差分方程形式如式(2)所示

式中，
k 表示采樣時(shí)刻；
a, b 為方程系數(shù)；
n 為差分方程的階次；
E(k), T(K)分別為系統(tǒng)的輸出和輸入序列。

(2)模型參數(shù)實(shí)時(shí)辨識(shí)方法。采用粒子群優(yōu)化算法，根據(jù)實(shí)時(shí)反饋的溫度和熱誤差數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

基于粒子群優(yōu)化算法辨識(shí)原理：粒子群優(yōu)化算法(Particle swarm optimization, PSO)是一種群體優(yōu)化算法，來(lái)源于人工生命和演化計(jì)算理論?；驹砣缦拢呵蠼鈫?wèn)題時(shí)，每個(gè)粒子都隨機(jī)設(shè)置初始位置和初始速度，初始位置表示在解空間中的一組解，速度表示搜索解空間的快慢。如在D 維空間中搜索，每個(gè)粒子就可以用D 維矢量表示，第i 個(gè)粒子的位置表示為x=(xi1，xi2，…，xiD)，速度表示為vi= (vi1，vi2，…，viD)。每個(gè)粒子適應(yīng)度的優(yōu)劣由適應(yīng)度函數(shù)F 評(píng)價(jià)，粒子經(jīng)過(guò)一次迭代，搜索到的個(gè)體最優(yōu)值： pi= (pi1，pi2，…，piD)，群體最優(yōu)值：pg = (pg1，pg2，…，pgD)，然后再跟據(jù)式(3)更新粒子位置和速度

式中，
i=1，2，…，N；
d=1，2，…，D；
c1 和c2是非負(fù)常數(shù)；
r1和r2是介于[0,1]的隨機(jī)數(shù)；
vid ∈[vmax，vmax ]， vmax為粒子最大速度；
t為當(dāng)前迭代次數(shù)。
PSO算法流程圖如圖2所示。PSO算法進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，可以看成是一優(yōu)化過(guò)程，適應(yīng)度函數(shù)取如下

式中，y0(t)為實(shí)際系統(tǒng)輸出；
y(t)為模型輸出，min為取適應(yīng)度函數(shù)的最小值。
PSO 算法進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)是使一組粒子作為模型參數(shù)，使式(4)取得最小值，對(duì)應(yīng)的這組粒子就是待求模型參數(shù)。

2  熱誤差試驗(yàn)

2.1  試驗(yàn)安排

本試驗(yàn)以三坐標(biāo)銑床工作臺(tái)為研究對(duì)象，x 軸以指令G00快速移動(dòng)時(shí)，測(cè)量在工作臺(tái)長(zhǎng)度方向最左、中、最右三個(gè)點(diǎn)縱向熱變形(工作臺(tái)尺寸：長(zhǎng)900 mm，寬410 mm)。傳感器安裝如圖3所示，T1放置在絲杠螺母附近；T2，T3 放置在伺服電機(jī)減速器上；T4放置在絲杠軸承座上；T5，T6放置在工作臺(tái)中間；T7測(cè)量環(huán)境溫度。電渦流位移傳感器分別安裝在工作臺(tái)最左、中、最右三個(gè)位置。工作臺(tái)x軸行程0～500 mm；往復(fù)移動(dòng)速度(以指令G00快速運(yùn)行)；第一個(gè)升溫階段快速運(yùn)行2.5h，停止2.5h；第二個(gè)升溫階段運(yùn)行(第一階段速度的70%)2.5h，停止2.5 h；每隔5 min 對(duì)測(cè)點(diǎn)溫度和熱誤差進(jìn)行一次采樣。工作臺(tái)運(yùn)行1h后的絲杠螺母和工作臺(tái)的紅外圖像如圖4、5所示；溫度和熱誤差測(cè)量數(shù)據(jù)如圖6、7 所示。

圖4、5 表明，工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)絲杠螺母處溫度比較高，局部可以達(dá)到40℃，由此傳入工作臺(tái)使工作臺(tái)表面中間部位溫度高，兩側(cè)溫度低，工作臺(tái)上表面最高溫度27 ℃，說(shuō)明從絲杠螺母處到工作臺(tái)上表面存在溫度梯度。

2.2  試驗(yàn)結(jié)果定性分析

試驗(yàn)測(cè)量的溫度和熱誤差曲線(xiàn)圖6、7所示。從圖6和圖7看出，當(dāng)測(cè)點(diǎn)溫度隨機(jī)床工作狀態(tài)變化時(shí)，工作臺(tái)縱向誤差也隨之發(fā)生改變，而且工作臺(tái)兩側(cè)和中間熱誤差變形量不同，也就是說(shuō)工作臺(tái)熱變形后呈“凹狀”。根據(jù)這一現(xiàn)象，對(duì)機(jī)床縱向加工誤差進(jìn)行補(bǔ)償時(shí)，不能采取固定值，而應(yīng)該隨著工作臺(tái)的位置不同而采取不同的補(bǔ)償量使之適應(yīng)工作臺(tái)面隨溫度和位置的變化。整個(gè)工作臺(tái)隨著受熱變形規(guī)律及變形量可由圖8表示。從圖8中看出工作臺(tái)在熱變形時(shí)，兩側(cè)的熱變形量要大于中間的熱膨脹量且兩側(cè)變形速度大于中間位置，導(dǎo)致工作臺(tái)兩側(cè)翹曲，使臺(tái)面呈凹狀。

為了驗(yàn)證工作臺(tái)在連續(xù)往復(fù)工作時(shí)由于熱變形呈“凹狀”這一現(xiàn)象是否符合物理原理，采用有限元法進(jìn)行驗(yàn)證(由于有限元仿真邊界條件不可能完全符合實(shí)際工作條件，仿真數(shù)據(jù)可能和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)有差異，但是結(jié)果能夠反映該變化的趨勢(shì)，所以可以利用有限元法進(jìn)行驗(yàn)證這種現(xiàn)象)，如圖9所示。有限元熱變形圖是在絲杠螺母處給定攝氏溫度60 ℃，仿真時(shí)間為20min的結(jié)果。從圖9上能明顯看出工作臺(tái)兩側(cè)發(fā)生翹曲，與試驗(yàn)結(jié)果得到的現(xiàn)象相吻合，說(shuō)明試驗(yàn)觀察到的現(xiàn)象是可能發(fā)生的。

3  溫度測(cè)點(diǎn)選取及熱誤差建模

3.1  最佳溫度測(cè)點(diǎn)的選取

對(duì)7個(gè)溫度變量進(jìn)行系統(tǒng)聚類(lèi)分析，采用最短距離法，平方Euclidean距離，計(jì)算出兩兩變量的近似矩陣，如表1所示。

根據(jù)計(jì)算的近似系數(shù)，按圖1流程得到圖10所示聚類(lèi)樹(shù)，縱坐標(biāo)是變量個(gè)數(shù)，橫坐標(biāo)聚合指數(shù)是將實(shí)際的距離按照比例調(diào)整到0~25的范圍內(nèi)。7個(gè)溫度變量按照四類(lèi)進(jìn)行選取，從每一類(lèi)中選取一個(gè)變量得到T1、T5、T7、T2四個(gè)為基本待選變量。

方程復(fù)相關(guān)系數(shù)R = 87%，各變量因子顯著水平遠(yuǎn)小于0.05，說(shuō)明各自變量與因變量線(xiàn)性相關(guān)程度顯著，由此選取和熱誤差有顯著關(guān)系的溫度變量為T(mén)1和T2。

3.2  差分方程階次的確定

確定方程階次是采用從1 階逐次遞增，同時(shí)考察模型預(yù)測(cè)值與測(cè)量值殘差平方和的大小來(lái)確定，當(dāng)增加階次殘差平方和變化不明顯時(shí)，采用此時(shí)階次值。根據(jù)上面方法并考慮運(yùn)算簡(jiǎn)單性，確定差分方程為二階

由于工作臺(tái)兩側(cè)和中間的變形量不一樣，因此需要3個(gè)模型分別對(duì)工作臺(tái)左側(cè)、中間和右側(cè)熱誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)。如果工作臺(tái)左右兩側(cè)熱誤差相差很小，可以共用1個(gè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

3.3  參數(shù)模型實(shí)時(shí)辨識(shí)

確定熱誤差模型結(jié)構(gòu)后，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。對(duì)熱誤差模型參數(shù)辨識(shí)并不是每個(gè)反饋周期都進(jìn)行，而是當(dāng)模型輸出值和熱誤差反饋值殘差超過(guò)一定范圍時(shí)，再啟動(dòng)辨識(shí)算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)更新。辨識(shí)的輸入數(shù)據(jù)為最近的10次采樣數(shù)據(jù)，使熱誤差模型始終反映機(jī)床最新的工作狀態(tài)。

3.4  擬合模型的建立

設(shè)EL(t)，EM(t)，ER(t)分別為工作臺(tái)左側(cè)、中間和右側(cè)在t 時(shí)刻的熱誤差模型預(yù)測(cè)值，為對(duì)工作臺(tái)左半部分行熱誤差預(yù)測(cè)，利用EL(t)和EM(t)進(jìn)行直線(xiàn)擬合得到擬合公式(6)，由于不同時(shí)刻EL(t)和EM(t)取值不同，所以a和b是時(shí)變系數(shù)

式中，
x為工作臺(tái)位置，
a、b為線(xiàn)性方程系數(shù)。
利用式(6)可以對(duì)工作臺(tái)左側(cè)部分，進(jìn)行任意位置的縱向熱誤差預(yù)測(cè)。同理可以建立工作臺(tái)右側(cè)部分的線(xiàn)性預(yù)測(cè)模型。

4  熱誤差建模結(jié)果及分析

4.1  單點(diǎn)模型建模結(jié)果及分析

由于工作臺(tái)中間熱誤差模型和兩側(cè)熱誤差模型結(jié)構(gòu)形式相同，辨識(shí)算法也一樣，在此只給出工作臺(tái)左側(cè)熱誤差模型驗(yàn)證結(jié)果。采用粒子群優(yōu)化參數(shù)辨識(shí)工作臺(tái)左側(cè)模型參數(shù)，辨識(shí)結(jié)果如圖11所示。

通過(guò)圖11看出，在第一個(gè)升溫階段模型預(yù)測(cè)值與測(cè)量值符合較好殘差很小，因?yàn)榇穗A段工況單一，熱誤差模型能夠進(jìn)行較好的預(yù)測(cè)；當(dāng)溫度開(kāi)始下降時(shí)，在第38個(gè)采樣時(shí)刻出現(xiàn)一次波動(dòng)，說(shuō)明熱誤差模型參數(shù)和機(jī)床狀態(tài)不匹配，殘差超出限定值需要更新模型參數(shù)，更新模型參數(shù)后直到下一個(gè)升溫過(guò)程，預(yù)測(cè)值效果良好，殘差值較小。在第68個(gè)采樣時(shí)刻殘差又出現(xiàn)一次波動(dòng)，模型進(jìn)行參數(shù)更新，使熱誤差模型隨著機(jī)床熱狀態(tài)的變化而實(shí)時(shí)調(diào)整。說(shuō)明該算法有一定的自適應(yīng)能力，能夠根據(jù)殘差的變化實(shí)時(shí)更新模型參數(shù)，模型預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

4.2  分段擬合模型驗(yàn)證及分析

通過(guò)上述辨識(shí)過(guò)程得到工作臺(tái)中間和兩側(cè)的單點(diǎn)熱誤差模型，要對(duì)工作臺(tái)整體范圍進(jìn)行熱誤差補(bǔ)償，還需要進(jìn)一步對(duì)熱誤差模型進(jìn)行擴(kuò)展，因?yàn)樯鲜鰺嵴`差模型只是描述工作臺(tái)三個(gè)位置的熱誤差狀態(tài)。為了對(duì)整個(gè)臺(tái)面的熱誤差進(jìn)行補(bǔ)償，對(duì)每一時(shí)刻預(yù)測(cè)值得到的左、中和右三個(gè)數(shù)值進(jìn)行分段擬合得到擬合公式，在補(bǔ)償時(shí)由分段擬合公式得到工作臺(tái)任意位置的熱誤差量，這樣就可以做到對(duì)整個(gè)工作臺(tái)的任意位置進(jìn)行補(bǔ)償。為驗(yàn)證這一過(guò)程，在工作臺(tái)中間傳感器和最左端傳感器中間處再放置一個(gè)位移傳感器，用來(lái)測(cè)量該位置的熱誤差值作為驗(yàn)證值。預(yù)測(cè)模型采用最左端和中間熱誤差模型的預(yù)測(cè)值做直線(xiàn)擬合，然后根據(jù)得到的直線(xiàn)模型對(duì)中間點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。直線(xiàn)分段擬合模型預(yù)測(cè)值與測(cè)量值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖12所示，殘差指標(biāo)如表3所示。

從圖12和表3看出，采用兩點(diǎn)直線(xiàn)擬合公式對(duì)中間熱進(jìn)行預(yù)測(cè)，效果良好，采用直線(xiàn)分段擬合方法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)工作臺(tái)任意位置的縱向熱誤差精確預(yù)測(cè)。根據(jù)此原理很容易建立工作臺(tái)右側(cè)部分的直線(xiàn)分段擬合模型。

5  結(jié)論