五軸數(shù)控機(jī)床萬(wàn)能主軸頭空間誤差建模研究

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隨著自由曲面的大量應(yīng)用，現(xiàn)代制造業(yè)對(duì)五軸機(jī)床的需求越來(lái)越大。五軸機(jī)床按照結(jié)構(gòu)的不同可分為雙轉(zhuǎn)臺(tái)式、轉(zhuǎn)臺(tái)加擺軸式、萬(wàn)能主軸頭式等幾種形式。萬(wàn)能主軸頭型數(shù)控機(jī)床的兩個(gè)回轉(zhuǎn)軸都位于主軸上，由于萬(wàn)能主軸頭相對(duì)于其他類型的主軸增加了兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，使其運(yùn)動(dòng)誤差大大增加，誤差來(lái)源量之間的關(guān)系也變得更加復(fù)雜。

近年來(lái)，對(duì)各種類型的五軸機(jī)床進(jìn)行誤差建模成為研究的熱點(diǎn)。比如，上海交通大學(xué)的張宏韜對(duì)雙轉(zhuǎn)臺(tái)型五軸機(jī)床進(jìn)行了誤差建模研究，天津大學(xué)的商鵬對(duì)擺頭加轉(zhuǎn)臺(tái)型的五軸機(jī)床進(jìn)行了誤差建模研究。對(duì)于萬(wàn)能主軸頭型數(shù)控機(jī)床，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 10791-6提出了其運(yùn)動(dòng)精度的球面運(yùn)動(dòng)檢測(cè)方案。K.M.MudithADassanayake在此方案的基礎(chǔ)上提出了通過(guò)觀測(cè)方程識(shí)別其十項(xiàng)靜態(tài)誤差的方法。

   

上述研究中都是使用齊次變換矩陣(HTM)對(duì)五軸機(jī)床進(jìn)行誤差建模，它依賴于大量的矩陣乘法運(yùn)算，運(yùn)算量大，其誤差模型的物理意義很難理解。本文針對(duì)萬(wàn)能主軸頭型五軸機(jī)床進(jìn)行建模研究，通過(guò)優(yōu)化坐標(biāo)系設(shè)置，提出一種簡(jiǎn)化建模方法，其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，物理意義明確。

   

1 主軸頭運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的建立

   

萬(wàn)能主軸頭型臥式機(jī)床的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

   

由于本文只研究萬(wàn)能主軸頭的誤差建模問(wèn)題，為防止引入其他誤差，測(cè)量時(shí)，保持X、Y和Z軸不動(dòng)，只有主軸頭的A軸和C軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)，建立機(jī)床各部分組件的坐標(biāo)系，如圖2所示。

   

首先建立機(jī)床參考坐標(biāo)系F(OF-XFYFZF)。因?yàn)橹挥兄鬏S頭的A軸和C軸運(yùn)動(dòng)，X、Y、Z軸沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，所以我們可以把X、Y、Z軸看作和機(jī)床床身是一體的。為簡(jiǎn)化坐標(biāo)變換，我們以靜止時(shí)的C軸中心線和A軸中心線的交點(diǎn)O(即初始狀態(tài)下名義C軸和名義A軸的交點(diǎn))上建立參考坐標(biāo)系F(OF-XFYFZF)。很顯然，我們可以在OF上同時(shí)建立C軸名義坐標(biāo)系C(Oc-XcYcZc)。這樣，C坐標(biāo)系對(duì)F坐標(biāo)系就只有旋轉(zhuǎn)變換，而沒(méi)有位移變換，誤差變換方程相對(duì)簡(jiǎn)單。但是，我們卻不能在OF上同時(shí)建立A軸坐標(biāo)系。因?yàn)锳軸在運(yùn)動(dòng)鏈上是C軸的下一環(huán)，C軸的運(yùn)動(dòng)會(huì)影響名義A軸的位置。如圖2所示，A軸名義中心線和C軸中心線的交點(diǎn)變動(dòng)到了Oc''的位置。我們只能在這個(gè)變動(dòng)后的交點(diǎn)上建立A軸名義坐標(biāo)系(OA-XAYAZA)，這樣，A坐標(biāo)系對(duì)C''坐標(biāo)系也只有旋轉(zhuǎn)變換，而沒(méi)有位移變換。圖2中，A軸和C軸的名義坐標(biāo)系用虛線表示，實(shí)際坐標(biāo)系用實(shí)線表示。

 

由以上過(guò)程可知，所有的5 個(gè)坐標(biāo)系都是建立在C軸中心線和A軸中心線的交點(diǎn)上，只不過(guò)這個(gè)交點(diǎn)因?yàn)镃軸和A軸的不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而產(chǎn)生了3個(gè)不同的位置。因此，運(yùn)動(dòng)鏈刀具環(huán)坐標(biāo)系建立的過(guò)程可用“一個(gè)交點(diǎn)、3種狀態(tài)、5個(gè)坐標(biāo)系”來(lái)概括。一個(gè)交點(diǎn)，即兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸中心線的交點(diǎn)O。3種狀態(tài)分別指兩個(gè)軸都靜止、C軸運(yùn)動(dòng)而A軸靜止、兩個(gè)軸都運(yùn)動(dòng)。交點(diǎn)O 在這3 種狀態(tài)下的位置是不同的，在這3個(gè)不同的位置處建立5個(gè)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。

   

2 主軸頭空間誤差建模

   

機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈由刀具環(huán)和工件環(huán)組成，萬(wàn)能主軸頭型機(jī)床的運(yùn)動(dòng)誤差主要在刀尖點(diǎn)環(huán)，詳細(xì)分析如下。

   

2.1 刀具環(huán)誤差分析

   

從刀具環(huán)運(yùn)動(dòng)傳遞的順序來(lái)看，各坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)傳遞關(guān)系是：

 

按照刀具環(huán)運(yùn)動(dòng)傳遞的順序，誤差建模包括位置描述、坐標(biāo)映射、旋轉(zhuǎn)變換和微分變換等過(guò)程，具體如下：

   

1)位置描述

   

刀尖點(diǎn)的位置在刀具環(huán)末端坐標(biāo)系A(chǔ)''中被描述。刀尖點(diǎn)在A''中的名義位置是A''TN，受熱誤差影響，誤差矢量表示為A''δT,N(t)。由此，我們就可以得到刀尖點(diǎn)的實(shí)際位置在末端坐標(biāo)系A(chǔ)''中的描述，即

    

設(shè)刀尖點(diǎn)到參考點(diǎn)的距離為L(zhǎng)。則

    

在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，刀具熱誤差對(duì)空間誤差作用顯著，不可忽略。表示為

    

2)運(yùn)動(dòng)變換

   

因?yàn)樗⒌?個(gè)坐標(biāo)系全部都在不同狀態(tài)下C軸中心線和A軸中心線的交點(diǎn)上，所以，所有的運(yùn)動(dòng)變換可由微分變換和旋轉(zhuǎn)變換來(lái)完成。

  

首先考慮刀尖點(diǎn)位置從運(yùn)動(dòng)鏈末端坐標(biāo)系A(chǔ)''向A坐標(biāo)系的變換。這是一個(gè)微分變換，由微分移動(dòng)變換和微分轉(zhuǎn)動(dòng)變換組成，可表示為

 

其中，Aδ(α)為擺頭A繞X軸轉(zhuǎn)過(guò)α角時(shí)產(chǎn)生的誤差矢量，是A'' 坐標(biāo)系的對(duì)A坐標(biāo)系的微分移動(dòng)矢量，可表示為

 

而AA''R表示A軸實(shí)際坐標(biāo)系相對(duì)于自身名義坐標(biāo)系的微分轉(zhuǎn)動(dòng)變換，基于小角度假設(shè)，AA''R可表示為

     

同理，刀尖點(diǎn)位置從C''坐標(biāo)系到C坐標(biāo)系的變換可表示為

    

式中：Cδ(γ)為轉(zhuǎn)臺(tái)C繞Z 軸轉(zhuǎn)過(guò)α角時(shí)產(chǎn)生的誤差矢量。

    

CC''R是C軸實(shí)際坐標(biāo)系相對(duì)于自身名義坐標(biāo)系的微分轉(zhuǎn)動(dòng)變換，可表示為

    

最后，考慮兩坐標(biāo)系之間只有旋轉(zhuǎn)變換而沒(méi)有平移變換的情況。根據(jù)本文第二節(jié)中的分析可知，我們?cè)贠F上建立C軸名義坐標(biāo)系(OC-XCYCZC)，在OC''上建立A軸名義坐標(biāo)系(OA-XAYAZA)，所以在坐標(biāo)變換中我們有兩個(gè)   旋轉(zhuǎn)算子C''AR和FCR。

  

C''AR為A繞X 軸轉(zhuǎn)過(guò)α角時(shí)的旋轉(zhuǎn)算子，可表示為

     

同理，CFR為繞C軸轉(zhuǎn)過(guò)γ角時(shí)的旋轉(zhuǎn)算子，可表示為

     

由以上分析，可得刀尖點(diǎn)在參考坐標(biāo)系的位置矢量為

    

2.2 工件環(huán)誤差分析

  

雖然確定了參考坐標(biāo)系，但工件的位置常用工作臺(tái)上的坐標(biāo)系表示。在工作臺(tái)中心位置設(shè)立X坐標(biāo)系。X坐標(biāo)系和F坐標(biāo)系之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，只有位置關(guān)系。工件的安裝誤差可通過(guò)對(duì)刀等方式消除，忽略不計(jì)。  

根據(jù)平移變換原理，有

    

式中：FPOX是指X坐標(biāo)系原點(diǎn)在F坐標(biāo)系中的位置矢量。隨著數(shù)控機(jī)床誤差測(cè)量和補(bǔ)償技術(shù)的進(jìn)步，直線運(yùn)動(dòng)軸的誤差越來(lái)越容易辨識(shí)和消除，而且相比之下，旋轉(zhuǎn)軸誤差要比直線軸誤差顯著得多。所以，工件環(huán)中的誤差可予以忽略。

  

2.3 主軸頭空間誤差計(jì)算

  

由萬(wàn)能主軸頭引起的空間誤差可用刀尖點(diǎn)位置矢量和工件位置矢量的差值表示為

   

至此，我們完成了對(duì)五軸機(jī)床萬(wàn)能主軸頭的誤差建模。

  

3 實(shí)例研究

  

針對(duì)圖2所示的萬(wàn)能主軸頭型五軸機(jī)床，推導(dǎo)出刀具的位置誤差和方向誤差的公式為

    

4 結(jié)束語(yǔ)

  

針對(duì)五軸數(shù)控機(jī)床的萬(wàn)能主軸頭進(jìn)行了空間誤差建模研究，考慮了主軸頭兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)誤差和主軸熱誤差對(duì)機(jī)床空間精度造成的影響。根據(jù)萬(wàn)能主軸頭結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出了“一個(gè)交點(diǎn)、3種狀態(tài)、5個(gè)坐標(biāo)系”的坐標(biāo)系設(shè)置方法，降低了誤差模型的復(fù)雜性。通過(guò)坐標(biāo)系的微分變換和旋轉(zhuǎn)變換，建立了萬(wàn)能主軸頭的空間誤差模型，并結(jié)合實(shí)例，推導(dǎo)出了刀具的位置誤差和方向誤差的公式，為進(jìn)一步進(jìn)行萬(wàn)能主軸頭誤差辨識(shí)和誤差補(bǔ)償?shù)於死碚摶A(chǔ)。